数学科学学院

最对称的双曲环面上的闭测地线的迹多项式

来源:数学科学学院 发布时间:2021-07-16   317

Topics on hyperbolic geometry

Upcoming Seminar

 

Date:

2021.7.16 (星期五) 13:50-15:20

Speaker:

张影(苏州大学)

Title:

最对称的双曲环面上的闭测地线的迹多项式

Abstract:

我们研究最对称的双曲单孔环面上的闭测地线的长度(或迹多项式)。

T是一个双曲单孔环面(简称为双曲环面)。这里的“孔”可以是开口(设边界测地线的长度为λ>0)或尖点。任取该双曲结构的和乐表示的提升,使之成为曲面的基本群到SL(2,R)的表示,可知围绕孔的简单闭曲线所对应的矩阵的迹为τ = -2cosh(λ/2), -2.

记   μ=τ+2, 则有 μ≤0.   可以选择和乐表示的提升,使得T上每条非边界的简单闭测地线(长度为L>0)的迹都是正的,从而等于2cosh(L/2) > 2. 选定T上三条简单闭测地线,它们两两相交一次;设它们的迹分别为 x>2,   y>2, z>2; x, y, z 满足所谓几何Markoff方程

x^2   +y^2 +z^2 –xyz = μ.

T上每条闭测地线的迹是x, y, z的多项式。

具有固定边界的所有双曲环面构成相对Teichmuller空间Teich_{1,1}(μ),

Teich_{1,1}(μ) = { (x, y, z) | x>2, y>2, z>2, x^2 +y^2 +z^2 –xyz = μ   }.

则最对称的双曲环面T对应于参数组 (3+x, 3+x, 3+x), 其中x0. 设在T的和乐表示的适当提升之下,选定的三条两两相交一次的简单闭测地线的SL(2,R)矩阵分别为A, B, A^{-1}B, 它们的迹都等于3+x. T上一条允许重复多圈的简单闭测地线所对应的正字W_{m, n} nAmB组成(不妨要求m≤n),迹为M(m, n).

对于多项式f, g, 我们记 f >>> g, 如果差 f - g 不是零多项式,且系数非负。

在与李祥飞的合作工作中,我们证明了:

() A, B写出的任何正字W的迹,作为x的多项式,其系数都是正的。我们进一步猜测该多项式的系数序列具有对数凹性。

()  W 是用nAmB写出的字(其中m≤n),而且W既不是简单闭曲线的字,也不是闭曲线A^n B^m的字。则有如下迹多项式不等式:

tr(W_{m, n}) <<< tr(W)   <<< tr(A^n B^m).

 () 迹多项式 M(m, n) 具有如下单调性(其中m≤n)

 M(m-1, n) <<<   (2+x) M(m, n);

M(m, n) <<<(2+x) M(m, n+1);

M(m-1, n+)   >>> M(m, n).

x=0的情形,这给出M. Aigner在书Markov’s Theorem and 100 Years   of the Uniqueness Conjecture (Springer, 2013)中所猜测的Markoff数的单调性。

我们还提出了更多猜测,包括如下的凸性不等式猜测:

 M(m-2, n+2) + M(m, n) >>> 2 M(m-1, n+1).   

 

Full information about the Seminar can be seen at: http://www.iasm.zju.edu.cn/iasm/2021/0622/c58777a2397709/page.htm


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