微分几何

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教材:苏步青、胡和生、沈纯理、潘养廉、张国梁《微分几何》

      高等教育出版社

主讲:盛为民

助教:陈滨

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课程简介:

《微分几何》课程是面向数学系数学与应用数学专业学生开设的几何类课程之一,本课程不仅是学生进一步学习现代数学的基础,而且是现代应用数学(计算机辅助设计等方向)的基础,总学时数64,一个学期完成,学分4.

通过本课程的教学,要使学生掌握微分几何中的基本概念、基本理论、基本方法和比较熟练利用向量分析中的运算技能;并使学生具有较强的几何直观及图形想象的能力,培养学生从具体到抽象的能力;培养学生具有较强的抽象思维、逻辑推理能力以及综合运用所学知识进行分析、解决问题的能力. 通过对曲面基本公式的推导,曲面的基本方程的推导的学习,使学生初步接触到近代几何思想、方法、符号的表示——活动标架法。

  1. 三维欧氏空间的曲线论

       曲线的局部理论  曲线、正则曲线及其弧长的概念,曲线方程的表示(弧长参数表示和一般参数表示),曲线的曲率与挠率的概念及其计算公式,曲线的切线、主法线、从法线及法平面、从切面、密切面的概念及其方程的表示,曲线论的基本公式(Frenet 公式),曲线在一点邻近的性质,曲线论的基本定理,特殊曲线(平面曲线,球面曲线,贝特朗曲线,渐伸线,渐缩线)。

  平面曲线的整体理论  闭曲线的概念,切线的旋转指标定理

 2.  三维欧氏空间中曲面的局部几何性质

 (1)曲面与正则曲面的概念,曲面的表示,曲面的切平面与法向量,参数变换,单参数曲面族、平面族的包络面,可展曲面的概念及其判断条件.

 (2)曲面的第一、第二基本形式,正交参数曲线网,等距对应,共形对应,曲面上的活动标架,曲面的基本公式,Weingarten 变换.

 (3)曲面的共轭方向,渐进方向,渐进曲线,曲面上曲线的法曲率,Meusnier定理,Euler公式,曲面的主方向,主曲率,曲率线,Dupin标线,总曲率,平均曲率,曲率线网,曲面在一点邻近处的形状,高斯映照,第三基本形式,特殊曲面(全脐点曲面,总曲率等于零的曲面,极小曲面).

4)曲面的基本方程,曲面论的基本定理.

5)测地曲率与测地线

6)曲面上向量的平行移动

 

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部分习题(作业)解答

第一章  曲线论  

第二章  曲面的局部理论

  1. 曲面的表示  切向量  法向量

  2. 曲面的第一、第二基本形式

  3. 曲面上的活动标架  曲面的基本公式

  4. 曲面上的曲率

  5. 曲面的基本方程及曲面论基本定理

  6. 测地曲率  测地线(Part 2)

  7. 曲面上向量的平行移动

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主要参考书目: