几何学

(求是数学061Q0012)


     教学目的:《 几何学》是一门培养数学研究与应用、工程技术与多媒体动画制作等方面的专门人才的基础课程。着重培养学生的几何直观和分析洞察问题的能力,提高几何素养,以及严格的逻辑推理能力和计算能力。

     基本要求:通过学习欧氏几何、仿射几何和射影几何,学生能够针对具体的几何问题,选择合理的几何学理论,利用坐标法和向量代数的方法,进行研究。同时也要求学生掌握必要的代数方法和计算技巧,能进行准确地计算。

数学学科虽有众多的分支,却是有机的统一。几何的代数的分析的方法相辅相成,使现代数学成为人类认识世界改造世界的锐利武器。几何学的对象比较直观,比较接近人们的生活经验,所以更能激发开创性思维。数学历史上的许多划时代的新思想,都首先发生在几何学的沃土上。几何学也是沟通几何形式与数量关系的一座桥梁,在代数,分析等各个数学分支和力学,物理等许多科学技术领域及某些社会科学领域中有着广泛的应用。《几何学》课程是大学数学系各专业的主要基础课程之一, 这门课程的学习质量对其它专业课程的学习和今后的工作有重要的影响,并且它本身的内容对于解决一些实际问题也是有用的。

《 几何学》是一门阐述用代数方法(坐标法和向量运算)研究几何问题的课程,主要包括向量代数,空间解析几何,坐标变换与二次曲线的分类,保距变换和仿射变换,射影几何学初步等内容。为了能较好的学好本课程,一方面要注意培养从几何直观方面分析和洞察问题的能力,另一方面要注意掌握必要的代数方法和计算技巧,能准确地进行计算。此外,欧氏几何(传统解析几何的内容)、仿射几何和射影几何在本课程中被有机结合起来,以仿射几何为主线,欧氏几何作为其特殊情形,射影几何看作其延伸。

         苏步青等编《空间解析几何》(上海科技出版社),1982.

        黄宣国编著《空间解析几何》, 复旦大学出版社, 2004.

        黄宣国编著《空间解析几何与微分几何, 复旦大学出版社, 2003.

周次

日期

教学内容

教学要求

秋-1

9.22-9.26

1.1 向量及其线性运算

掌握向量及其运算、向量线性表示、向量的分解的基本概念

秋-2

9.28-9.30

1.2 标架与坐标

1.3向量的内积

掌握标架概念,用标架表示1.1中的概念 ;掌握向量的内积的概念和运算律,并用坐标表示

秋-3

10.8-10.11

1.4向量的外积

1.5向量的多重乘积

习题课

 

掌握向量的外积和混合积、双重外积等的概念和运算律,并用坐标表示

秋-4

10.13-10.17

2.1图形与方程

2.2平面的方程

掌握几种图形(球面、圆柱面、圆锥面、圆柱螺线)的特点和方程;掌握平面的几种重要方程

秋-5

10.20-10.23

2.3 直线的方程

2.4 平面与直线的位置关系

掌握直线的几种重要方程;掌握平面与直线的位置关系的判定

秋-6

10.27-10.31

2.4 平面束及其应用

习题课

掌握灵活利用平面束解题的方法

秋-7

11.3-11.7

3.1柱面、锥面和旋转面

3.2其它二次曲面

掌握柱面、锥面和旋转面的几何特征,由此推导出方程;掌握根据几种常见曲面(椭球面、双曲面、等)的标准方程讨论它们的图形特征和几何性质

秋-8 11.10-11.14

3.2其它二次曲面 (续)

3.3二次直纹面

 

掌握两种二次直纹面的几何性质

冬-1

11.24-11.28

3.4坐标变换

3.5二次曲面的分类

 

掌握用矩阵方法讨论直角坐标变换的方法

冬-2

12.1-12.5

3.5二次曲面的分类 (续)

3.6曲面的相交

习题课

 

掌握用代数方法分类二次曲面;掌握曲面的相交曲线和所围区域的表示

冬-3

12.8-12.19

4.1平面上的等距变换

4.2平面上的仿射变换

 

掌握平面上的等距变换的概念和性质

冬-4

12.15-12.19

4.2平面上的仿射变换 (续)

4.3变换群与几何学

4.4空间等距变换

 

掌握平面上的仿射变换的概念和性质;了解变换群与几何学的关系,掌握空间的等距变换的概念和性质

冬-5

12.22-12.26

4.5空间的仿射变换

5.1 扩大的欧氏平面

5.2 射影平面

 

掌握空间的仿射变换的概念和性质;掌握射影平面与射影坐标的基本概念与坐标表示

冬-6

12.29-1.2

5.3 射影坐标

5.4 射影几何的内容 对偶原理

5.5 交比

 

掌握对偶原理,交比的概念,一维射影对应;二维射影对应

冬-7

1.5-1.9

5.6 透视

5.7 配极

 

掌握透视和配极中的基本概念

冬-8

01.12-01.19

5.8 Steiner定理和Pascal定理

期末复习

能够利用配极原理证明两个重要定理

 

1.20-1.29

期终考试

 

 

 

 

    (零) 几何学历史简介

     (一) 向量代数

     (二)       直线与平面

     (三)       曲面与曲线的定义

(四)  二次曲面的分类

(五) 直纹面

(六) 非直纹二次曲面

(七) 平面上等距变换和仿射变换

(八) 空间的等距变换和仿射变换

 

  秋学季第一周第二周 第三周,第四周,第五周,第六周,第七周,第八周

  冬学季第一周, 第二周,第三周,第四周,第五周,第六周,第七周, 第八周

 

 

 

如果在学习中遇到问题,可以与我联系:shengweimin@zju.edu.cn


Publisher:   Weimin Sheng
Editor:   Weimin Sheng

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Last modification : Friday, 19-Sept-2014