黎 曼 几 何

        黎曼几何是现代数学和理论物理的重要基础之一,曾经是爱因斯坦创立广义相对论的数学工具。为了使数学专业的大学生具有较高的数学素质,了解黎曼几何的基本內容和基本方法是非常必要的。

        通过学习《黎曼几何》,使学生初步掌握黎曼几何的基本概念和流形上分析的基本技巧,学会张量分析和外微分的计算,了解黎曼度量与黎曼联络的重要意义,明白黎曼流形上曲率的重要作用,认识黎曼流形的结构。要求学生通过本课程的学习,了解黎曼几何的基本內容和物理背景,为今后进一步深造或实际应用打下扎实基础。

   (一) 微分流形复习 

       (二)黎曼联络与共变微分

    1.仿射联络   2黎曼联络    3共变微分

   (三)曲率 

    1黎曼曲率张量   2.截面曲率、Ricci曲率与数量曲率   3.共形变换与Yamabe问题    

   (四)调和形式  

    1. Hodge 星算子 2. Laplace-Beltrami算子 3. Hodge 定理及其几何应用

   (五)测地线理论 

    1.指数映照与测地完备性     2.弧长变分公式及其应用     3.曲率与拓扑、比较定理(简介) 

1.第二周作业

2.第三周作业

3.第五周作业

4.第六/七周作业