计算与应用讨论班

报告题目：双曲守恒律的间断有限元方法研究

报告人：谢正荣（华东师范大学）

时间：2026年04月08日（星期三），下午15:00

地点：海纳苑2幢203

摘要：本次报告主要分为两部分: (1) 首先重点考察了一种半拉格朗日间断有限元 (CSLDG), 用以求解线性标量输运方程(LSTEQ). 将CSLDG中的积分不变量模型 $\int_{\widetilde{\Omega}(t)} U \psi d \mathbf{x}=0$ 作为 LSTEQ 的一种非标准 Galerkin 弱形式, 借助 Riesz 表示定理与抽象函数理论在 Bochner 空间 $L^1\left([0, T] ; L^2(\widetilde{\Omega}(t))\right)$ 中证明其弱解的存在唯一性与对初值的连续依赖性, 随后进一步将其时间可积性提升至 $L^{\infty}$. 在为 CSLDG 方法构建了完备的弱解理论基础后, 我们对其全离散格式作了$L^{2}$-稳定性分析, 并在不考虑网格误差且假设伴随方程特征线求解精度足够高的前提下作出了最优误差估计. (2) 报告的第二部分是回到 Eulerian 坐标上, 关注双曲守恒律中的间断问题. 高阶方法例如 RKDG 在间断附近容易出现非物理振荡, 为此通常需要使用限制器 (limiter) 作平滑处理. 我们发现 DG 框架下, TVB(D)-minmod 限制器在配合高阶多项式逼近时会构成欠定的线性代数系统, 直接使用最小二乘求解会产生明显的数值伪振荡. 为此, 我们将 WENO 重构中的光滑度量函数 IS 作为目标函数, 经典 TVB(D)-mimod 限制器提供的修正方程作为约束条件, 构成一个约束优化问题有效克服了上述欠定现象.